.
Professor: Lupércio F. Bessegato |
E-mail: lupercio@est.ufmg.br |
O objetivo deste curso é familiarizar o aluno com os aspectos formais da Teoria de Processos Estocásticos, enfatizando aqueles referentes à distribuição invariante do processo, além de mostrar a ampla aplicabilidade nas diversas áreas do conhecimento
As listas de exercícios devem ser resolvidas com o objetivo de prepará-lo para as provas.
Você
pode precisar ler arquivos em formato PDF que devem ser lidos com o
software gratuito .
Poderá ser necessário o uso de algum pacote computacional para o acompanhamento prático da disciplina ou na execução de alguma das Listas de Exercícios.
Para aqueles que desejem utilizar o S-Plus, recomendo o Relatório Técnico "Noções Básicas de S-PLUS for Windows®", de E.A. Reis, publicado pelo Departamento de Estatística da UFMG (download: Arquivo
)
Para aqueles que prefiram o Minitab, recomendo o Relatório Técnico "Introdução ao Software Minitab for Windows ®", de J.F. Soares e M.D.F. Rodrigues, publicado pelo Departamento de Estatística da UFMG (download: Arquivo
Neste contexto, estudamos os processos estocásticos cujos futuros são condicionalmente dependentes de seus passados, desde que seus valores presentes sejam conhecidos. Introduzimos as noções fundamentais e a terminologia de tais processos. A teoria de processos Markovianos compreendem o maior e mais importante capítulo na teoria de processos estocásticos; esta importância está relacionada com muitas aplicações em praticamente todas as áreas de conhecimento. Inicialmente vimos o processo como um observador faria de um ponto fixo: ou seja, os tempos sucessivos na qual uma posição é visitado por uma partícula em movimento.
Para concluir o estudo elementar de cadeias de Markov, verificamos as esperanças e probabilidades associadas às visitas do processo através de seus estados, além da consideração de estados recorrentes e das probabilidades de estar em determinado estado em tempos distantes da situação inicial.
É essencial a compreensão das propriedades e do comportamento da Cadeias de Markov para sua correta utilização na modelagem de aplicações práticas.
O assunto desenvolvido em sala pode ser reforçado e complementado através do estudo dos seguintes livros, naqueles itens a que se aplicam:
Hoel, P.G., Port, S.C. & Stone, C.J.: Introduction to Stochastic Processes.
Capítulo 1-Markov Chains e Cap. 2 - Stationary Distributions of Markov Chain- Çinlar, E.: Introduction to Stochastic Processes.
Cap. 5: Markov Chains e Cap. 6: Limiting Behavior and Applications of Markov Chains
Lista de Exercícios
Recomendo que sejam resolvidas as listas de exercícios, importante no processo de aprendizagem e compreensão da matéria:
Lista de Exercícios #1: (Disponibilizada em sala)
Lista de Exercícios #2: (Disponibilizada em sala)
Lista de Exercícios #3: (arquivo
Lista de Exercícios #4 (arquivo
Aplicação Computacional
Dentre os processos estocásticos de parâmetro contínuo, o processo de Poisson é um dos mais simples e mais importantes. Esta posição de destaque não se deve apenas às suas inúmeras aplicações, mas também à sua utilidade na construção de modelos mais complexos.
O processo de Poisson é utilizado em muitas aplicações, especialmente como um modelo para o processo de chegada em uma loja, uma fila, de chamadas telefônicas, etc. Da mesma maneira que emprega-se a terminologia de sucesso no contexto do processo de Bernoulli, emprega-se o termo chegada com a compreensão que seu real significado irá variar, dependendo da aplicação envolvida.
O processo de Poisson é um processo de contagem e, dentre outras coisas, ele está intimamente ligado com a distribuição exponencial. São importantes também as propriedades dos processos derivados de processos de Poisson, tais como, o processo de Poisson composto, a superposição de processos de Poisson, etc.
Lista de Exercícios:
Recomendo que sejam resolvidas as listas de exercícios, importante no processo de aprendizagem e compreensão da matéria:
Lista de Exercícios #5: (arquivo
Lista de Exercícios #6 (arquivo
Aplicação Computacional
São desenvolvidos uma classe de modelos no quais clientes chegam de alguma maneira aleatória em uma estação de serviços. Em sua chegada ele esperam em uma fila até que chegue sua vez de ser atendido. Uma vez atendidos, assume-se geralmente que eles saem do sistema. Para estes modelos, estamos geralmente interessados em determinar, entre outras coisas, quantidades tais como o número médio de clientes no sistema (ou na fila) e o tempo médio que um cliente gasta no sistema (ou gasta esperando na fila).
São deduzidas uma série de identidades básicas que têm grande uso na análise de modelos de filas. São introduzidos sitemas nos quais assume-se que todas as distribuições de probabilidades são exponenciais. O modelo M/M/1, o mais simples dos modelos considera que os clientes chegam de acordo a um processo de Poisson (portanto com os tempos entre chegadas sendo distribuídos exponencialmente), sendo atendidos um por vez por um único servidor, levando um tempo exponencialmente distribuído em cada atendimento. Estes modelos de filas exponenciais são exemplos especiais de cadeias de Markov a tempo contínuo.
São estudados modelos M/M/1 com capacidade finita. Os modelos M/G/1, em que as chegadas ocorrem de acordo a um processo de Poisson, com tempo de atendimento com uma distribuição arbitrária qualquer. Além dos modelo multiservidores, como o sistema de perdas de Earlang e os modelos M/M/k.
Lista de Exercícios:
Recomendo que sejam resolvidas as listas de exercícios, importante no processo de aprendizagem e compreensão da matéria:
Lista de Exercícios #7: (arquivo
Aplicação Computacional