Probabilidade

Professor: Lupércio F. Bessegato

Livro Texto: meyer, P.l. Probabilidade: aplicações à estatística. 2ª edição, Rio de Janeiro: LTC

O objetivo deste curso é apresentar aos alunos conceitos e técnicas fundamentais de probabilidades, referentes ao tratamento de variáveis aleatórias e de suas funções, capacitando-os à utilização destes conceitos na análise e modelagem de dados.

As listas de exercícios devem ser resolvidas com o objetivo de prepará-lo para as avaliações.

Você pode precisar ler arquivos em formato PDF que devem ser lidos com o software gratuito .

Pacotes Estatísticos

É fortemente incentivado o uso de algum pacote computacional para o acompanhamento prático da disciplina ou na execução de alguma das Listas de Exercícios.

O R é um pacote voltado para a comunidade estatística que é inteiramente livre. Há muito material de apoio disponível. Sugiro iniciarem por:

- Contributed Documentation do CRAN (Comprehensive R Archive Network);

- Página pessoal do prof. Paulo Justiniano Ribeiro Jr.

- E. A. Reis. Noções Básicas de S-PLUS for Windows^®. RTE-03/1997, EST-ICEx-UFMG, Belo Horizonte, 1997 (disponível através da homepage de relatórios técnicos do EST ou diretamente em ftp://ftp.est.ufmg.br/pub/rts/rte9703.pdf).

Para aqueles que prefiram o Minitab, recomendo:

- Relatório Técnico "Introdução ao Software Minitab for Windows ®", de J.F. Soares e M.D.F. Rodrigues, publicado pelo Departamento de Estatística da UFMG (download: Arquivo ).

- Meet Minitab (apostila em português)

Leitura Recomendada

Recomendo a leitura do livro: Desafio aos deuses: a fascinante história do risco, de Peter L. Bernstein. É uma leitura agradável que, além de contar a evolução do pensamento estocástico, conta-nos os problemas que suscitaram a reflexão sistemática e exata sobre a natureza do risco, o impulso derivado da matematização da idéia de chance e probabilidade e sua extensão a praticamente todos os campos da atividade humana.
É um ótimo programa para o próximo fim-de-semana!

Introdução à Probabilidade

Recomenda-se que sejam solucionados todos os exercícios do Capítulo 1 do livro texto, para sedimentar os conceitos.

Lista de Exercícios:

Lista # 1: (pg. 23 a 25), exercícios: 1.1, 1.4, 1.6, 1.10, 1.11, 1.18. Entrega em 09/08.

Lista # 2: (pg. 23 a 25), exercícios: 1.3, 1.5, 1.13, 1.15, 1.16. Entrega em 14/08.

Lista # 3: Baixar aqui. Entrega em 16/08.

Probabilidade Condicionada e Independência

Recomenda-se que sejam solucionados todos os exercícios do Capítulo 3 do livro texto, para sedimentar os conceitos. Atenção com o conceito e com os resultados envolvendo probabilidade condicionada e independência. Eles são muito importantes no desenvolvimento da disciplina. É muito importante o uso do Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes em aplicações. Aqui você encontrará exemplos de aplicação que desenvolveremos em sala. Estude-os e monte sua solução para discussão em sala na próxima aula.

Lista de Exercícios:

Lista # 4: Baixar aqui . Entrega em 21/08.

Lista # 5: (pg. 60 a 65), exercícios: 3.2, 3.3, 3.4, 3.9, 3.10, 3.17, 3.20, 3.25. Entrega em 23/08
Atenção!: Programe-se, pois, haverá outra lista para entrega nesta data. Esta lista será detalhada oportunamente. (è Superado)

REVISÃO RECOMENDADA:

Recomendação # 1:

Exercícios do livro Probability: the science of uncertainty, Michael Bean, pág. 77 (cópia xérox em sala e/ou arquivo digitalizado aqui):

§ Exercícios: 11, 12, 14, 17, 18, 19, 20.

Conclusão lista de exercícios sobre Probabilidade Condicionada, encaminhada em sala.

Espaços Amostrais Finitos

Recomenda-se que sejam efeitos os exemplos deste capítulo para entender bem os conceitos e aplicações. Atenção com a expressão “escolha ao acaso” e com o conceito de espaço equiprovável. É bem importante entender as condições para aplicação de contagem.

Lista de Exercícios:

Lista # 6: Baixar aqui . Entrega em 28/08.

Variáveis Aleatórias Unidimensionais

É um capítulo chave para o desenvolvimento da disciplina. Seu entendimento é crucial, ou seja, não há quase que nenhum espaço para dúvidas, assim, recomenda-se que sejam solucionados todos os exercícios do Capítulo 4 do livro texto, para sedimentar os conceitos. Cuidado com armadilhas em sua leitura e interpretação e saibam distinguir variáveis aleatórias discretas e contínuas e mistas em qualquer situação. A lista #8 traz exercícios de cunho teórico que são importantes para a consolidação de conceitos e na manipulação do ferramental matemático. Como novidade em relação ao livro-texto, esta lista traz vários exercícios referentes a distribuições mistas. O primeiro cuidado será sua identificação e posterior tratamento.

Lista de Exercícios:

Lista # 7: (pg. 92 a 96), exercícios: 4.2, 4.3, 4.4, 4.11, 4.15, 4.25. Entrega em 04/09.

Lista # 8: Baixar aqui . Os cinco primeiros exercícios são para entrega em 06/09, o restante fica como recomendação. Sugiro que dêem o mesmo tratamento a ambos os tipos de exercícios.

Funções de Variáveis Aleatórias

É um capítulo que traz dificuldades adicionais, manipulando bastante com conceitos matemáticos de funções, domínios de funções, derivação e integração. Revisem-nos e aproveitem as aulas para tirarem suas dúvidas. No decorrer da disciplina utilizaremos bastante os conceitos e as propriedades expostos neste capítulo. O importante é não restarem dúvidas, com relação à correta aplicação do ferramental ora apresentado. A lista # 9 remete àquelas transformações entre variáveis que estaremos demonstrando no decorrer da disciplina. Pesquisem no livro-texto a expressão daquelas densidades que vocês ainda não conhecem.

Lista de Exercícios:

Lista # 9: Baixar aqui . Os cinco primeiros exercícios são para entrega em 06/09, o restante fica como recomendação. Sugiro que dêem o mesmo tratamento a ambos os tipos de exercícios.

Variáveis Aleatórias de Duas ou Mais Dimesões

É um capítulo extremamente importante para a compreensão do restante da disciplina. É fundamental em qualquer modelagem. De agora em diante os conceitos de distribuição conjunta, distribuição marginal, distribuição condicionada irão permear o desenvolvimento da disciplina. Há ferramentas matemáticas que devem estar dominadas para a execução dos exercícios. Exercitem-nas à exaustão.

Lista de Exercícios:

Lista # 10: Baixar aqui . Atenção: Não usar os conceitos de distribuição marginal ou de distribuição condicional. Entrega em 25/09/2007.

Lista # 11: (pg. 134 a 136), exercícios: 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.14. Entrega em 27/09/2007.

Lista # 12: Baixar aqui . Atenção: Muito cuidado na determinação dos extremos de integração e do domínio das variáveis transformadas. Entrega em 27/09/2007.

Lista #13: Baixar aqui . Usar o pacote computacional de sua preferência (Excel, Minitab, R, Matlab, ...). Entrega em 09/10/2007.

Variáveis Aleatórias de Duas ou Mais Dimensões

No caso univariado, introduzem-se os principais parâmetros de uma distribuição de probabilidade: sua média (ou esperança), sua variância, seus momentos. No caso bivariado o importante conceito de covariância e de coeficiente de correlação. As definições, conceitos e propriedades são muito importantes, além da habilidade em aplicá-los e manuseá-los. Como uma importante aplicação citamos Risco e Retorno no contexto de Administração Financeira.

Lista de Exercícios:

Lista # 14: (pg. 179 a 185), exercícios: 7.1, 7.2, 7.6, 7.9, 7.10, 7.14, 7.16, 7.26, 7.28, 7.29. Entregar os exercícios em 09/10/2007. Recomenda-se a resolução dos demais.

Lista # 15: Baixar aqui . Entregar, em 11/10/2007, os exercícios: 1, 4, 6, 8 e 9. Recomenda-se a resolução dos demais. O exercício 3 fornece um resultado valioso.

Algumas Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas

Discutidas as variáveis aleatórias discretas mais importantes, ou sejam, aquelas relacionadas com experimentos binomiais: Bernoulli, binomial, binomial negativa, geométrica e a importante distribuição de Poisson. Recomenda-se sejam efetuados todos os exercícios do Capítulo 8.

No caso das variáveis contínuas, é extremamente importante que a distribuição normal seja muito bem entendida, inclusive com relação ao cálculo de probabilidades e o uso da tabela normal padronizada. As integrais serão efetuadas constantemente. O importante, neste caso, é identificar os núcleos de densidades nos integrandos para serem utilizados na resolução da integral os resultados provados em sala (ou em lista), quais sejam: a função de densidade de probabilidade, a esperança e o segundo momento das diversas variáveis estudadas. Os gráficos das densidades devem estar entendidos.

Lista de Exercícios:

Lista # 16: Meyer 8.9. Efetuado e entregue em sala na data de 23/10/2007.

Lista # 17: Baixar aqui . Entregar, em 30/10/2007.

Lista # 18: (pg. 179 a 185), exercícios: 8.3, 8.4, 8.5, 8.7, 8.11, 8.15, 8.16, 8.17, 8.22, 8.24.
Entregar os exercícios assinalados em negrito, na data de 01/11/2007. Recomenda-se a resolução dos demais.

Lista # 19: Baixar aqui . Entregar, em 06/11/2007.

Lista # 20: Baixar aqui . Entregar os exercícios: 1, 5, 6, 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20, na data de 08/11/2007. Recomenda-se a resolução dos demais.

Distribuição Normal Bivariada

É uma distribuição conjunta para duas variáveis normais, ambas normais e a princípio dependentes. Tem propriedades muito importantes que devem ser bem compreendidas. Ela é extensamente utilizada em Probabilidade e Inferência.

Lista de Exercícios:

Lista # 21: Baixar aqui . Entregar, em 13/11/2007. Serão escolhidos em sala os exercícios que deverão ser entregues.

Função Geradora de Momentos

Ferramenta importante na determinação de distribuição de soma de variáveis aleatórias independentes. Suas propriedades simplificam o cálculo dos momentos de variáveis aleatórias e na verificação de convergência de Variáveis aleatórias e propriedades assintóticas de distribuições.

Lista de Exercícios:

Lista # 22: (pg. 260 a 262), exercícios: 10.3, 10.6, 10.8, 10.7, 10.18, 10.19. Não é necessária sua entrega.

Aplicações em Confiabilidade/Sobrevivência

Aplicações importantes em Probabilidade com alguns conceitos relacionados também com demografia. Define-se a função taxa de falhas (função de risco) apresentando-se a Lei de Potências, a distribuição de Weibull e distribuições de máximo e mínimo no contexto de Confiabilidade.

Lista de Exercícios:

Lista # 23: (pg. 279 a 283), exercícios: 11.2, 11.5, 11.9, 11.19, 11.18, 11.24 e 11.25. Não é necessária sua entrega.

Desigualdades Importantes e Soma de Variáveis Aleatórias

É o capítulo mais importante do semestre, contendo algumas desigualdades úteis no contexto de aplicação e de provas de propriedades. Apresenta a Lei dos Grandes Números e o Teorema Central do Limite que são os resultados mais importantes em Probabilidade, que permitem a conexão do estudado com Inferência Estatística. Recomenda-se seu entendimento exaustivo.

Lista de Exercícios:

Lista # 24: Exercícios: 7.34 e 7.35 (pág. 183); 9.13 (pág. 242); 12.3, 12.4, 12.6, 12.10, 12.13 (pág. 306 a 307). Não é necessária sua entrega.