Universidade Federal de Minas Gerais

Departamento de Estatística

1. Objetivos da disciplina:

   Familiarizar o estudante com os aspectos formais da Teoria de Processos Estocásticos, enfatizando aqueles referentes à distribuição invariante do processo. Mostrar a ampla aplicabilidade nas diversas áreas do conhecimento.

2. Ementa:

   Processo Estocástico Real. Processos com incrementos independentes e estacionários. Cadeia de Markov discreta a parâmetro discreto. Cadeia de Markov discreta a parâmetro contínuo. Distribuição invariante. Processo de Poisson homogêneo. Processo de Poisson generalizado. Processo de nascimento e morte. Aplicações: Introdução à Teoria de Filas. Sistemas de filas tipo M/M/1, M/M/C e M/M/C/B.

3. Programa:

   1. Definições Básicas de Processos Estocásticos: Incrementos independentes e estacionários. Processos estritamente estacionários, processos estacionários no sentido amplo. Parâmetros de um processo. Função média, função covariância, estatísticas de um processo.

   2. Cadeias de Markov discretas com parâmetro de tempo discreto: Definição de cadeia de Markov (de primeira ordem). Exemplos: modelo de estoque, modelos em genética, modelos em sociologia. Distribuição inicial da cadeia. Matriz de probabilidades de transição, probabilidades de transição, probabilidades de transição de ordem superior. Equações de Chapman-Kolmogorov. Distribuições marginais e conjuntas em uma cadeia. Classificação do espaço de estados. Periodicidade, recorrência. Cadeias fortemente ergódicas. Distribuição invariante, critérios para sua existência e unicidade. Estimadores de máxima verossimilhança das probabilidades de transição e da distribuição invariante. Cadeias redutíveis. Probabilidade de absorção.

   3. Cadeias de Markov discretas com parâmetro contínuo: Probabilidades de transição. Equações de Chapman-Kolmogorov. Processo de Poisson homogêneo: postulados. Generalização: processo de Nascimento, processo de nascimento e morte. Equações prospectivas e retrospectivas. Distribuição invariante.

   4. Aplicações: 1) Modelos de filas: filas M/M com infinitos servidores. Dimensionamento usando a distribuição invariante. Filas M/M/C e M/M/C/B. Comparação entre fila única e fila múltipla. 2) Modelos de estoque: dimensionamento do estoque com um item, idéias sobre o dimensionamento quando mais de um item é considerado.

4. Critério de Avaliação:

   Atividade	Data	Pontos	Unidades
   Prova P1 Prova P2 Prova P3 Suplementar Listas Exercícios	23/09 26/10 09/12 16/12 várias	30 pontos 30 pontos 30 pontos 30 pontos 10 pontos	1 e 2 3 4 1 a 4

   Após serem entregues pelos alunos, as listas de exercícios serão resolvidas nas aulas de exercícios que antecedem cada prova, e conseqüentemente, não serão aceitos atrasos na entrega das listas por parte dos alunos.

   A matéria da primeira prova será aquela lecionada até a data do evento. A matéria da segunda prova será aquela lecionada entre a primeira prova e a data de sua realização. A matéria da terceira prova será aquela lecionada entre a segunda prova e a data de sua realização. A prova suplementar será aquela lecionada em todo o semestre. O exame suplementar substitui a pior nota entre as três primeiras provas, e poderá ser feito apenas por alunos que necessitem de notas para aprovação na disciplina ou que não tenham feito alguma das provas, por qualquer motivo. Serão considerados aprovados os alunos freqüentes que obtiverem no mínimo 60 (sessenta) pontos em três provas.

5. Freqüência:

   A presença dos alunos será apurada por meio de chamada nominal. A condição da aprovação é o comparecimento do(a) aluno(a) a, no mínimo, 75% (setenta e cinco por cento) das aulas programadas, sem abono, conforme Resolução 04, de 16/09/86, do Conselho Federal de Educação, registrada pelo Of. Circular 036/87-DRCA, de 09/02/87, da diretoria do Departamento de Registro e Controle Acadêmico da UFMG

6. Bibliografia:

   Básica

   • hoel, P.G., port, s.c. and stone, c.j Introduction to stochastic processes. Boston: Houghton-Mifflin, 1972.

   • allen, a.o., Probability, statistics and queueing theory. London: Academic Press, 1978.

   • çinlar, e. Introduction to stochastic processes. New Jersey: Prentice Hall, 1975.

   Complementar:

   • kleinrock, l. Queuing systems. Vol 1: theory. New York: John Wiley & Sons, 1975.
   • karlin, s. and taylor, h.m. A first course in stochastic processes. New York: Academic Press, 1975.
   • ross, s. Introduction to probability models. New York: Academic Press, 1972.

7. Endereços:

   • Home page do curso.

   • E-mail do professor: lupercio@est.ufmg.br